14. Оптика камеры: фокусное расстояние, угол обзора, глубина резкости #
Камера — основной канал визуального наблюдения БПЛА (беспилотный летательный аппарат); её физика — геометрия: фокусное расстояние определяет угол обзора и оптическое приближение, а глубина резкости — что видно чётко. Разбираем формулу линзы, пересчёт на кроп-матрицу (эквивалентное фокусное расстояние), углы обзора и ГРИП, и применяем это к выбору объектива под задачу: разведка, картография, съёмка, наведение.
Содержание
- 1. Цели статьи
- 2. Величины и единицы измерения (глоссарий)
- 3. Фокусное расстояние и угол обзора
- 4. Кроп-матрица и эквивалентное фокусное
- 5. Глубина резкости (ГРИП)
- 6. Разрешение, ГСН и размер детали на снимке
- 7. Выбор объектива под задачу
- 8. Практика: типовые задачи (с решениями)
- 9. Резюме
- 10. Источники
1. Цели статьи
- Пересчитывать фокусное расстояние в угол обзора (и обратно) для матрицы камеры.
- Понимать «эквивалентное фокусное 35 мм» и коэффициент кропа.
- Оценивать, какой размер детали на земле попадёт в один пиксель на заданной высоте (ГСН — земное пространственное разрешение: размер на земле, который занимает один пиксель).
- Угол обзора задаётся соотношением \(\alpha = 2\arctan(d/(2F)) \), где d — размер матрицы по соответствующей оси (мм), F — фокусное расстояние (мм). При той же матрице меньшее F даёт более широкий кадр: это определяет «характер» объектива — обзорный или наводчик.
- «Эквивалент 35 мм» = F × коэффициент кропа: условное фокусное расстояние, которое дал бы этот же объектив на полном кадре. По нему сравнивают камеры с разными матрицами — «6 мм на 1/2.3" = эквивалент 15 мм».
- ГСН (масштаб на пиксель) \(\approx H \cdot s / F \), где H — высота (м), s — размер пикселя (мм), F — фокусное (мм): это размер на земле, который занимает один пиксель. Масштаб линейно растёт с высотой — удвоение высоты вдвое уменьшает деталь в пикселях, поэтому ГСН — главный параметр при планировании высоты съёмки.
2. Величины и единицы измерения (глоссарий)
Все величины, используемые в статье и задачах, с единицами измерения. Ссылочные значения: диагональ «полнокадрового» 35-мм кадра ≈ 43,3 мм.
| Символ | Величина | Единица (СИ) | Типовые значения в статье |
|---|---|---|---|
| F | фокусное расстояние объектива | мм (миллиметр) | 2,8–90 и выше |
| Fэкв | эквивалентное фокусное (35-мм формат) | мм | 15–270 |
| d | размер матрицы по оси (ширина/высота/диагональ) | мм | 8,8 (ширина 1/2"); 17,1 (диагональ 1/2.3") |
| k | коэффициент кропа (безразмерная величина) | — | 1,0 (полный кадр) – 2,53 (1/2.3") |
| N | светосила: относительное отверстие, «f-число» (безразмерная величина) | — | 1,4–16 |
| s | размер пикселя на матрице | мм (микрон) | 2,2·10⁻⁶ (матрица 1/2") |
| H | высота полёта | м (метр) | 100–2000 |
| α | угол обзора | град (градус) | 10–120 |
| c | допуск кружка размытия | мм | 0,01 |
| Hh | гиперфокальное расстояние | м | ~10 (F = 24 мм, N = 5,6) |
| ГСН | земное пространственное разрешение (масштаб на пиксель) | мм/px | 9,2 (F = 24 мм, H = 100 м) |
3. Фокусное расстояние (рисунок — Wikipedia) / Фокусное расстояние и угол обзора
\[ \alpha = 2\arctan\frac{d}{2F} \]где \(F \) — фокусное расстояние объектива [мм], \(d \) — размер матрицы по соответствующей оси [мм] (по диагонали, ширине или высоте). Малое F — широкий угол (короткофокусный объектив), большое F — узкий угол (телеобъектив).
| F, мм (на 1/2.3") | Угол (по диагонали) | «Характер» |
|---|---|---|
| 2,8–4 | ~85–110° | широкоугольный (FPV — вид от первого лица, обзор) |
| 8–12 (экв. 24–36) | ~55–85° | стандарт (основная съёмка) |
| 20–30 (экв. 60–90) | ~30–45° | зум-кадр (разведка) |
| 90+ (экв. 270+) | ~10–15° | дальний наводчик |
4. Кроп-матрица и эквивалентное фокусное
Чтобы сравнивать объективы на разных матрицах, вводят коэффициент кропа \(k = d_{\text{полн}} / d \) (dполн — диагональ «полнокадрового» 35-мм кадра ≈ 43,3 мм) и эквивалентное фокусное \(F_{\text{экв}} = F \cdot k = F \cdot 43.3/d \).
| Матрица | Диагональ, мм | Кроп k (≈) |
|---|---|---|
| Полный кадр (35 мм) | 43.3 | 1,0 |
| 4/3 (MFT — micro four thirds) | 33,2 | 1,33 |
| 1" | 27,7 | 1,52 |
| 1/1.7" | 22,5 | 1,93 |
| 1/2.3" | 17,1 | 2,53 |
Пример: F = 6 мм на матрице 1/2.3" → \(F_{\text{экв}} \approx 6 \cdot 2.53 \approx 15 \) мм — широкоугольный объектив, близкий к 15-мм на полном кадре. Именно по эквиваленту «читают» характеристики камеры БПЛА: «8 мм (экв. 25 мм)» и аналогичные обозначения.
↑ К оглавлению5. Глубина резкости (рисунок — Wikipedia) / Глубина резко изображаемого пространства (ГРИП)
Глубина резкости — диапазон расстояний, в котором объект выглядит «достаточно чётким» (в пределах допуска размытия). Формально зависит от: фокусного расстояния F, апертуры (диафрагмы) N, расстояния до объекта s и допуска кружка размытия c:
\[ \text{ГРИП} \approx \frac{2 c F^2 N}{s^2} \quad (s \gg F) \]- Большая апертура (малое N, открытая диафрагма) — меньше ГРИП: задний план размывается.
- Малое F и большое N — больше ГРИП (всё в кадре чётко).
- В аэрофотосъёмке «всё в фокусе» почти всегда: до земли далеко, ГРИП велика — но при наводчике (близкие цели) ГРИП становится критичной.
- Практика: для картографии — «закрытая» диафрагма (больше N) и фокус на бесконечность/гиперфокальное расстояние.
6. Разрешение, ГСН и размер детали на снимке
Ключевая величина для задач «увидеть деталь на земле» — масштаб (размер, который занимает один пиксель на земле). Из подобия треугольников:
\[ \text{масштаб на пиксель} \approx \frac{H \cdot s}{F} \]где \(H \) — высота полёта [м], \(s \) — размер пикселя на матрице [мм] (dширина/число пикселей по ширине), \(F \) — фокусное [мм].
- Чтобы разглядеть объект размером A [м], нужно, чтобы он занимал несколько пикселей (обычно ≥ 3–5 px): \(A \gtrsim 3 \cdot H s/F \).
- Высота H, при которой деталь A «пропадёт» в пикселе: \(H \approx A F/(3 s) \) (при допуске 3 px).
- Чем больше F (телеобъектив) и чем ниже H — тем мельче «виден» пиксель; но ниже H = меньше площадь кадра и больше риск помех.
7. Выбор объектива под задачу
| Задача | F / экв. | Приоритет |
|---|---|---|
| Обзор, FPV, навигация | широкоугольный (2,8–4 мм) | угол, устойчивость к кренам |
| Картография / ортофотоплан | стандарт (8–12 мм) | минимальные искажения, большая ГРИП |
| Разведка деталей | зум 20–45 мм (экв. 60–135) | масштаб на пиксель, стабильность |
| Дальний наводчик | 90+ мм (экв. 270+) | F и оптическая стабильность |
8. Практика: типовые задачи (с решениями)
Все задачи построены по единому шаблону: Задача — что происходит и что нужно найти (обычным языком); Заданные параметры — таблица всех известных величин с единицами измерения; Искомые параметры — что вычислить, с единицами; Решение — по шагам; Ответ и Вывод — результат и его практический смысл.
Задача 1. Угол обзора по ширине и по диагонали
Задача. Камера БПЛА (беспилотного летательного аппарата) с объективом F = 8 мм и матрицей 1/2" (ширина 8,8 мм, диагональ 15,9 мм). Нужно найти угол обзора по ширине и по диагонали — базовый расчёт для подбора объектива под задачу съёмки.
Заданные параметры:
| Параметр | Значение |
|---|---|
| фокусное расстояние, F | 8 мм |
| ширина матрицы, d_w | 8,8 мм |
| диагональ матрицы, d | 15,9 мм |
Искомые параметры:
- угол обзора по ширине, α_w (град);
- угол обзора по диагонали, α_d (град).
Решение.
- По ширине: \(\alpha_w = 2\arctan (d_w/(2F)) = 2\arctan (8{,}8/16) = 2\arctan 0{,}55 \approx 2 \cdot 28{,}8° = 57{,}6° \).
- По диагонали: \(\alpha_d = 2\arctan (d/(2F)) = 2\arctan(15{,}9/16) = 2\arctan 0{,}994 \approx 2 \cdot 44{,}8° = 89{,}6° \).
Задача 2. Эквивалент 35 мм и диагональный угол
Задача. Объектив F = 6 мм установлен на матрице 1/2.3" (диагональ 17,1 мм). Нужно найти эквивалентное фокусное в 35-мм формате и диагональный угол обзора — так «читают» характеристики камер БПЛА.
Заданные параметры:
| Параметр | Значение |
|---|---|
| фокусное расстояние, F | 6 мм |
| диагональ матрицы, d | 17,1 мм |
| диагональ 35-мм кадра | 43,3 мм |
Искомые параметры:
- эквивалентное фокусное, F_экв (мм);
- угол обзора по диагонали, α_d (град).
Решение.
- Коэффициент кропа: \(k = 43{,}3/17{,}1 \approx 2{,}53 \).
- \(F_{\text{экв}} = F \cdot k = 6 \cdot 2{,}53 \approx 15{,}2\ \text{мм} \).
- Угол по диагонали: \(\alpha_d = 2\arctan (17{,}1/(2\cdot 6)) = 2\arctan 1{,}425 \approx 2 \cdot 54{,}9° = 109{,}8° \).
Задача 3. Размер детали на один пиксель (ГСН)
Задача. Камера: F = 24 мм, матрица 1/2" (8,8 мм × 6,6 мм, 4000 × 3000 px, s ≈ 2,2 мкм). Полёт на высоте H = 100 м. Нужно найти размер на земле, который занимает один пиксель (ГСН), и оценить, различим ли объект 0,5 м.
Заданные параметры:
| Параметр | Значение |
|---|---|
| фокусное расстояние, F | 24 мм (0,024 м) |
| размер пикселя, s | 2,2·10⁻⁶ м |
| высота полёта, H | 100 м |
| размер объекта, A | 0,5 м |
Искомые параметры:
- масштаб (ГСН) (мм/px);
- размер объекта в пикселях (px).
Решение.
- Масштаб: \(H s / F = 100 \cdot 2{,}2\cdot 10^{-6}/0{,}024 \approx 9{,}2\ \text{мм/px} \).
- Размер объекта: 0,5 м / 0,0092 м ≈ 54 px. Порог различимости — 3–5 px, 54 px — объект различим хорошо.
- Проверка на H = 1000 м: масштаб ~92 мм/px, объект ~5 px — уже на пределе.
Задача 4. Ближняя граница ГРИП через гиперфокальное расстояние
Задача. Камера (F = 24 мм, диафрагма N = 5,6) сфокусирована на бесконечность, допуск кружка размытия c ≈ 0,01 мм. Нужно оценить ближнюю границу глубины резкости (ГРИП) через гиперфокальное расстояние — с какого расстояния «всё в фокусе».
Заданные параметры:
| Параметр | Значение |
|---|---|
| фокусное расстояние, F | 24 мм |
| «f-число», N | 5,6 |
| допуск кружка размытия, c | 0,01 мм |
Искомые параметры:
- гиперфокальное расстояние, H_h (мм, м).
Решение.
- Гиперфокальное расстояние: \(H_h \approx F^2/(Nc) + F = 24^2/(5{,}6 \cdot 0{,}01) + 24 = 576/0{,}056 + 24 \).
- \(576/0{,}056 \approx 10286\ \text{мм} \); \(H_h \approx 10286 + 24 \approx 10310\ \text{мм} \approx 10{,}3\ \text{м} \).
Задача 5. Максимальная высота для заданного ГСН
Задача. Требуется, чтобы объект размером 1 м занимал не менее 5 пикселей. Камера: F = 24 мм, s = 2,2 мкм. Нужно найти максимальную высоту, на которой условие выполнимо — ограничение для планирования вылета.
Заданные параметры:
| Параметр | Значение |
|---|---|
| размер объекта, A | 1 м |
| требуемое разрешение | не менее 5 px |
| фокусное расстояние, F | 24 мм (0,024 м) |
| размер пикселя, s | 2,2·10⁻⁶ м |
Искомые параметры:
- максимальная высота, H (м).
Решение.
- Требуемый масштаб: не хуже 1 м / 5 = 0,2 м/px = 200 мм/px.
- Из \(H s / F \le 200 \): \(H \le 200 \cdot F/s = 200 \cdot 0{,}024/ 2{,}2\cdot 10^{-6} \approx 2{,}18\cdot 10^{6} \ \text{мм} \).
- \(H \approx 2180\ \text{м} \).
9. Чек-лист самопроверки знаний
Отметьте пункты, которые вы действительно понимаете и можете применить без подсказок.
| ✓ | Навык | Проверка |
|---|---|---|
| Угол обзора | посчитаю α = 2arctan(d/2F) | |
| Кроп | пересчитаю в экв. 35 мм | |
| Масштаб | определю мм/px на заданной H | |
| «Увидеть деталь» | оценю px-размер объекта | |
| ГРИП | знаю от чего зависит | |
| Гиперфокальное | объясню «всё в фокусе» | |
| Выбор объектива | сопоставлю задачу и F | |
| Ограничения | знаю про стабилизацию телеобъектива |
10. Источники
- Wikipedia, «Focal length» — фокусное, эквивалент 35 мм, кроп. en.wikipedia.org/wiki/Focal_length / ru.wikipedia.org/wiki/Фокусное_расстояние (Фокусное расстояние) (рисунок)
- Wikipedia, «Angle of view» — α = 2arctan(d/2F). en.wikipedia.org/wiki/Angle_of_view / ru.wikipedia.org/wiki/Угловое_поле_объектива (Угловое поле объектива)
- Wikipedia, «Depth of field» — ГРИП, гиперфокальное. en.wikipedia.org/wiki/Depth_of_field / ru.wikipedia.org/wiki/Глубина_резко_изображаемого_пространства (Глубина резко изображаемого пространства) (рисунок)
- Wikipedia, «Ground sample distance» (aerial) — масштаб/px в аэрофотосъёмке. en.wikipedia.org/wiki/Ground_sample_distance
- Справочные таблицы форм-факторов матриц (1/2.3", 1/2", 1", MFT) — размеры и кроп. en.wikipedia.org/wiki/Crop_factor / ru.wikipedia.org/wiki/Кроп-фактор (Кроп-фактор)
Проверено: 02.09.2026.
↑ К оглавлению- мод. : Воскресенье, 06 сентября 2026