66. Изгиб, кручение, устойчивость: формулы для рам БПЛА #

1. Цели статьи

Справочник формул сопротивления материалов для элементов рамы БПЛА: изгиб, кручение, продольное сжатие. Материал рассчитан на инженера, который выбирает сечение трубки или плиты под конкретную нагрузку и должен за 15 минут проверить его по трём критериям: прочность (напряжение), жёсткость (прогиб/угол) и устойчивость (продольное сжатие).

• Выбрать формулу моментов для своей схемы (консоль, шарнирно-шарнирная балка, распределённая нагрузка).
• Посчитать напряжение изгиба σ (МПа) и прогиб δ (мм) и сравнить с допустимым (статьи 64–65).
• Посчитать кручение: касательное напряжение τ (МПа) и угол закручивания φ (рад).
• Проверить стойку на продольное сжатие по Эйлере: P_кр (Н), коэффициент n_кр, гибкость λ.
• Пользоваться готовой таблицей I (мм⁴) и W (мм³) для трубок d6/4 — d16/14.

2. Глоссарий величин

Полный перечень величин с единицами измерения. Все формулы статьи работают в системе: Н, мм, \(\text{МПа} (1\ \text{МПа} = 1\ \text{Н/мм}^{2}) \).

3. Изгиб: моменты, напряжения, прогибы

Изгиб — главный режим разрушения рамы: рукава, плечи, кронштейны. Расчёт в три шага: найти максимальный момент M (Н·мм), посчитать напряжение \(\sigma = \frac{M}{W} (\text{МПа}) \), проверить прогиб δ (мм).

3.1. Моменты для типовых схем

3.2. Сечения: I и W

• Прямоугольник b × h: I = b·h³/12 (мм⁴), W = b·h²/6 (мм³). Куб у h: высота сечения влияет на жёсткость сильнее ширины — плита \(20 \times 10\ \text{мм} (I = 20\cdot 1000/12 = 1667\ \text{мм}^{4}) \) вчетверо жёстче плиты \(40 \times 5\ \text{мм} (I = 40\cdot 125/12 = 417\ \text{мм}^{4}) \) при той же площади.
• Круглая труба: I = π(d_нар⁴ − d_внутр⁴)/64 (мм⁴), W = 2I/d_нар (мм³).
• Сплошной круг d: \(I = \frac{πd^{4}}{64} \), \(W = \frac{πd^{3}}{32} \).

Заметьте: от d12/10 к d16/14 масса поперечного сечения растёт на 36 % (34,6 → 47,1 мм²), а W — почти вдвое (87,9 → 166,4 мм³). Трубка при том же количестве материала даёт больше W, чем сплошной круг — поэтому силовые элементы рамы делают из труб.

3.3. Допустимый прогиб

• Антенны, камеры, датчики: \(\delta \leq \frac{L}{200} \) — чтобы не смещать картинку камеры и диаграмму направленности антенны.
• Силовые элементы рамы: \(\delta \leq \frac{L}{100} \) — деформация не должна выводить винты из плоскости.
• Лёгкие несиловые детали: \(\delta \leq \frac{L}{50} \).

4. Кручение

Крутит то, что передаёт момент: вал коаксиального винта, рукава при асимметричном ударе винта, кронштейны моторов при рывке. Формулы:

• Касательное напряжение: \(\tau = \frac{T}{Wp} (\text{МПа}) \), где T (Н·мм) — момент кручения, Wp (мм³) — полярный момент сопротивления. Для круглой трубы: \(Wp = \pi\frac{d_{нар}^{4} - d_{внутр}^{4}}{16\cdot d_{нар}} \).
• Угол закручивания: \(\varphi = T\cdot \frac{L}{G\cdot Ip} (\text{рад}) \), где G (МПа) — модуль сдвига, Ip (мм⁴) — полярный момент инерции. Для круглой трубы \(Ip = 2I = \pi\frac{d_{нар}^{4} - d_{внутр}^{4}}{32} \).

Модуль сдвига: \(G = E/(2(1+\nu)) \), для \(\nu \approx 0{,}33 \) получаем \(G \approx 0{,}376E \). Типовые значения (ГПа): сталь 79, алюминий 26, титан 44, CFRP в плоскости 5–7, GFRP 4–7, PLA 0,5–1.

Допустимые значения: \(\tau_{доп} = 0{,}58\cdot \frac{\sigma_{т}}{n} (\text{МПа}) \) — коэффициент 0,58 = 1/√3 по гипотезе Треска. Угол закручивания на валу держат меньше 1° (0,017 рад), иначе фазы винтов на разных моторах рассинхронизируются.

5. Устойчивость: продольное сжатие

Тонкий стержень, сжимаемый по оси, выгибается при силе, много меньшей прочности материала. Критическая сила по Эйлере:

P_кр = π²·E·I/(μ·L)² (Н)

• μ (безразмерный) — коэффициент длины: консоль 2, шарнирно-шарнирно 1, защемление-шарнир 0,7, защемление-защемление 0,5.
• L (мм) — длина стержня между опорами/заделками; I (мм⁴) — момент инерции (для труб — по таблице §3.2); E (МПа) — модуль упругости.

Запас: n_кр = P_кр/P ≥ 2–3 (статья 65).

5.1. Когда Эйлер применим: гибкость λ

Формула Эйлера справедлива, пока стержень выгибается упруго. Граница задаётся гибкостью (условной длиной) \(\lambda = \mu \frac{L}{i} \), где \(i = \sqrt{\frac{I}{A}} (\text{мм}) \) — радиус инерции сечения:

• Алюминий: Эйлер при λ больше примерно 50 (при λ меньше — сечение течёт раньше, чем выгибается).
• Сталь: Эйлер при λ больше примерно 75.
• Композиты и хрупкие материалы: текучести нет, поэтому ограничивающим обычно является прочность; проверку по Эйлере всё равно делают \(\text{с} n_{кр} \geq 3 \) (статья 68 — композиты).

Если λ ниже границы — стержень разрушается по прочности: \(P_{доп} = \sigma_{т}\cdot \frac{A}{n} \). Проверяют оба значения и берут меньшее. [Гибкость — Slenderness Ratio, Slenderness_ratio (рисунок — Wikipedia) / Гибкость стержня; продольное сжатие — Buckling / Выпучивание]

6. Пример: балка рамы

Исходные данные. Поперечина рамы: труба 6061-T6 d12/10, пролёт между узлами \(L = 400\ \text{мм} \) (двух опор), в центре — узел с мотором и винтом. Расчётная сила в центре (статика + динамический коэффициент 1,5): \(P = 100\ \text{Н} \). Материал: \(E = 69\,000\ \text{МПа} \), \(\sigma_{т} = 276\ \text{МПа} \), \(n_{треб} = 3 \) (статья 65).

Шаг 1. Момент. \(M = P\cdot \frac{L}{4} = 100\cdot \frac{400}{4} = 10\,000\ \text{Н·мм} \).

Шаг 2. Напряжение. По таблице §3.2: \(W = 87{,}9\ \text{мм}^{3} \). \(\sigma = \frac{M}{W} = \frac{10\,000}{87{,}9} = 113{,}8\ \text{МПа} \). Запас: \(n = \frac{276}{113{,}8} = 2{,}4 \) — меньше \(n_{треб} = 3 \): сечение «слабое».

Шаг 3. Прогиб. \(\delta = P\cdot \frac{L^{3}}{48EI} = 100\cdot \frac{64\,000\,000}{48\cdot 69\,000\cdot 527{,}1} = 3{,}67\ \text{мм} \). \(\frac{L}{100} = 4\ \text{мм} \) — прогиб в норме (3,67 меньше 4), но по запасу прочности труба не проходит.

Усиление: d14/12. \(W = 124{,}0\ \text{мм}^{3} \), \(I = 867{,}8\ \text{мм}^{4} \). \(\sigma = \frac{10\,000}{124{,}0} = 80{,}7\ \text{МПа} \) → \(n = \frac{276}{80{,}7} = 3{,}4 \) (больше 3, годно). \(\delta = 100\cdot \frac{64\,000\,000}{48\cdot 69\,000\cdot 867{,}8} = 2{,}23\ \text{мм} \) — жёсткость выросла в 1,6 раза при приросте массы сечения на 18 %.

7. Практика: типовые задачи

Задача 1. Кронштейн антенны (консоль, прогиб)

Задача 2. Вал винта (кручение)

Задача 3. Стойка CFRP (продольное сжатие)

Задача 4. Балка рамы (изгиб, усиление)

Задача 5. Гибкость стойки (λ)

8. Чек-лист самопроверки знаний

Отметьте пункты, которые вы действительно понимаете и можете применить без подсказок.

9. Источники

1. Wikipedia, «Bending» — изгиб, формулы моментов и прогибов. en.wikipedia.org/wiki/Bending / ru.wikipedia.org/wiki/Изгиб_(механика) (Изгиб (механика))
2. Wikipedia, «Second Moment of Area» — момент инерции сечения. en.wikipedia.org/wiki/Second_moment_of_area
3. Wikipedia, «Torsion» — кручение, углы и напряжения. en.wikipedia.org/wiki/Torsion_(mechanics) / ru.wikipedia.org/wiki/Кручение_(деформация) (Кручение (деформация))
4. Wikipedia, «Shear Modulus» — модуль сдвига. en.wikipedia.org/wiki/Shear_modulus / ru.wikipedia.org/wiki/Модуль_сдвига (Модуль сдвига)
5. Wikipedia, «Slenderness Ratio» — гибкость стержня. en.wikipedia.org/wiki/Slenderness_ratio / ru.wikipedia.org/wiki/Гибкость_стержня (Гибкость стержня)
6. Wikipedia, «Buckling» — продольное сжатие, формула Эйлера. en.wikipedia.org/wiki/Buckling / ru.wikipedia.org/wiki/Выпучивание (Выпучивание)

Проверено: 05.09.2026.