Перейти к содержимому
30

67. Усталость, вибрации, осевой удар #

Статическая прочность (статьи 64–66) отвечает на вопрос «выдержит ли деталь один удар». Усталость отвечает на другой: «выдержит ли она миллионы циклов вибрации за 2 года эксплуатации». Здесь — S-N кривые и пределы усталости для алюминия, стали и композитов, концентраторы напряжений, оценка усталостных напряжений от вибрации (связка со статьёй 63) и расчёт осевого удара при посадке.

Содержание

1. Цели статьи

Справочник по усталостной прочности, вибрационным нагрузкам и осевому удару для элементов рамы БПЛА. Материал рассчитан на инженера, который проектирует раму «под срок службы», а не «под один прыжок с руки»: считает циклы, оценивает усталостные напряжения от вибрации мотора и выбирает материал стойки под посадочный удар.

  • Понять механику усталости: трещина зародится за 10⁴–10⁵ циклов, а вырастет за следующие 10⁴–10⁶ (статическая прочность при этом может не достигаться ни разу).
  • Знать пределы усталости: сталь ~0,5·σ_пр (есть предел), алюминий ~0,25–0,35·σ_пр (предела нет — кривая падает дальше), CFRP 40–60% от плоскостной прочности.
  • Уметь считать Kt (концентратор) и применять правила сверловки отверстий.
  • Перевести вибрацию (g, Гц, Q из статьи 63) в усталостные напряжения (МПа) и в число циклов за срок службы.
  • Рассчитать осевой удар при посадке: \(\sigma = v\cdot \sqrt{\rho E} \) — почему алюминиевая стойка гнётся, а карбоновая ломается.
Связь с соседними статьями. Статья 63 — виброанализ: собственные частоты, резонанс, множитель Q, уровни g. Статьи 64–66 — статика: напряжения, запасы, формулы. Статья 68 — дефекты композитов, они же зародыши усталостных трещин.
↑ К оглавлению

2. Глоссарий величин

Полный перечень величин с единицами измерения.

ВеличинаОбозначениеЕдиницыТипичные значения
Число циклов нагрузкиNциклы (×10³…×10⁸)2 года полётов: 10⁸–10⁹ (вибрация мотора)
Амплитуда циклического напряженияσ_aМПавибрация рамы: 5–80 МПа
Предел усталостиσ_rМПасталь 8.8: ~330; 6061: ~93 (на 10⁸); CFRP: 120–250
Коэффициент концентрации напряженийKtбезразмерныйотверстие: 3.0 (изотроп), 1.5–2.5 (CFRP)
Частота вибрацииfГцмотор: 500–3000 Гц
Ускорение вибрацииag (м/с²)рама БПЛА: 0,5–3 g (RMS)
Резонансный множительQбезразмерный1,5–3 (демпфированные), до 10 (гибкие узлы)
Скорость удараvм/спосадка 3–5; краш 10–25
Плотность материалаρкг/м³ (г/см³)Al 2700; CFRP 1450–1600; сталь 7850
Модуль упругостиEГПаAl 69; CFRP 70–115 (по волокну)
Энергия удараEkДжEk = m·v²/2; 0,3 кг при 4 м/с: 2,4 Дж
↑ К оглавлению

3. Усталость: S-N кривая и пределы

Усталость — разрушение от циклически повторяющейся нагрузки, много меньшей статической прочности. Механика в двух фазах: зарождение микротрещины у концентратора (90 % всего ресурса) и разрастание трещины до критической. Поэтому усталость «не прощает» отверстий, швов и царапин — даже при идеальном статическом запасе. [Усталость — Fatigue (material), Fatigue (рисунок — Wikipedia) / Усталость материала]

S-N кривая (кривая Вёллера) связывает амплитуду напряжения σ_a (МПа) с числом циклов до разрушения N: чем выше σ_a, тем меньше N. [S-N кривая — Wöhler_curve / Усталость материала; предел выносливости — Endurance_limit / Предел выносливости]

Материалσ_пр, МПаПредел усталости (σ_a), МПаПоведение
Сталь 8.8 (крепёж)660–800~330 (≈0,5·σ_пр) — предел естьпри σ_a меньше 330 теоретически бесконечный ресурс (на практике ~10⁷–10⁸)
Алюминий 6061-T6310 (σ_т 276)~78–109 на 10⁸ (0,25–0,35·σ_пр); дальше падаетпредела нет: каждая лишняя ступень σ_a сокращает ресурс
Алюминий 7075-T6572 (σ_т 503)~143–200 на 10⁸ (0,25–0,35·σ_пр); дальше падаетто же, что 6061, но уровень выше
CFRP (плоскостная)300–600120–250 (40–60% от плоскостной)зависит от layup и дефектов (статья 68); изотропных «пределов» нет
GFRP300–60015–30 (низкий, деградация интерфейса)чувствителен к влаге и температуре
PLA (печатный)35–5010–20 (значительная хрупкость)расслоение по слоям печати; термодеструкция ускорит
Практическое правило для алюминия (предела нет): считайте ресурс как «на 10⁸ циклов» — \(\sigma_{a} \leq 0{,}3\cdot \sigma_{пр} \); если по подсчёту циклов у вас 10⁹ (долгий срок службы, высокая частота), уменьшайте до 0,25·σ_пр. Для стали: \(\sigma_{a} \leq 0{,}5\cdot \sigma_{пр} \) — и ресурс «бесконечный» на практике. Для CFRP: \(\sigma_{a} \leq 0 \),4–0,5 от плоскостной прочности, плюс осмотр на дефекты (статья 68).
↑ К оглавлению

4. Концентраторы напряжений

Концентратор — местное повышение напряжения из-за резкого изменения геометрии: отверстие, выборка, утолщение, резкая кромка. Коэффициент концентрации Kt (безразмерный):

σ_max = Kt · σ_nom, где σ_nom (МПа) — номинальное напряжение по «чистому» сечению.

КонцентраторKt (изотропный материал)Kt эффективный (CFRP)
Круглое отверстие в пластине (растяжение)~3,01,5–2,5
Выборка/паз в плите2,5–52–3
Резкая кромка, уголок2–41,5–3
Скругление R ≥ 3× стенки1,2–1,51,1–1,5

Почему у CFRP Kt меньше: трещина у отверстия в композите загибается между волокнами и «распушается» (pull-out волокон), поэтому эффективный коэффициент ниже. Тем не менее в расчётах берут Kt = 2 для отверстий. [Концентрация напряжений — Stress_concentration (рисунок — Wikipedia) / Концентрация напряжений]

Правила сверловки (работают для всех материалов):

  • Дистанция между отверстиями: не меньше 3·d_отв (иначе сечения «съедают» друг друга).
  • Дистанция до края плиты: не меньше 2·d_отв (иначе кромка откалывается).
  • В композите — втулки (grommet) в отверстие: Kt снижается до ~1,3, кромка не расслояется.
  • Перед сверловкой композита — подложка (дерево/ДВП): нижняя кромка не выкрашивается, это будущий концентратор.
  • Скругления углов: R не меньше 2–3× толщины стенки — каждый острый угол в раме даёт +30–100 % к локальному напряжению.
↑ К оглавлению

5. Вибрация как усталостная нагрузка

Главный источник усталости в БПЛА — вибрация мотора: 1–3 кГц, десятки миллионов циклов за час полёта. Оценка усталостных напряжений в три шага (связка со статьёй 63):

  1. Статическое напряжение σ_ст (МПа) в детали от массы (статьи 64–66).
  2. Вибрационное напряжение: \(\sigma_{в} = \sigma_{ст} \cdot (a/g) \cdot Q \), где a (g) — ускорение вибрации на детали, Q (безразмерный) — резонансный множитель (1,5–3 в нормальном узле, до 10 на гибком). Физический смысл: при 1 g вибрации деталь «весит» в 1 раз больше, при 2 g — в 2 раза, а на резонансе множится ещё на Q.
  3. Сумма с концентратором: \(\sigma_{a} = Kt \cdot \sigma_{в} \) (амплитуда циклической части), \(\sigma_{max} = \sigma_{ст} + Kt\cdot \sigma_{в} \).

Проверка: \(\sigma_{a} \leq \frac{\sigma_{r}}{n} \), где n = 1,5–2 (статистический запас на разброс S-N кривой и дефекты). Алюминий без предела — плюс подсчёт циклов (§7, задача 1).

Что даёт демпфирование. Резинка/демпфер мотора (статья 63) снижает a на узле в 2–4 раза, а Q гибкого узла — с 8–10 до 2–3. Итог: σ_в падает в 4–10 раз, а усталостный ресурс растёт нелинейно (по S-N кривой). Поэтому демпфер мотора — не «звукостой», а элемент конструкции.
↑ К оглавлению

6. Осевой удар (посадка, краш)

При осевом ударе (посадка на стойки, краш «хвостом») в стойку входит бегущая волна сжатия. Напряжение волны:

σ_уд = v · √(ρ·E) (Па при ρ в кг/м³, E в Па, v в м/с)

Это «импеданс» материала: при данной скорости удара напряжение в стойке не зависит от её массы и геометрии (если стойка достаточно длинная, чтобы волна не успела отразиться). [Удар — Impact_(mechanics)]

Материалρ·E, 10¹⁴ Па√(ρE), 10⁷ Па·с/мσ при v = 5 м/сσ при v = 15 м/с
Алюминий 60611,861,3768 МПа205 МПа
CFRP (по волокну)1,051,0251 МПа154 МПа
Сталь15,73,96198 МПа594 МПа

Что происходит дальше — по материалам:

  • Алюминий \((\sigma_{т} = 276\ \text{МПа}) \): при \(v = 5\ \text{м/с} \sigma = 68\ \text{МПа} \) — упруго; при \(15\ \text{м/с} \sigma = 205\ \text{МПа} \) — упруго, но близко к текучести; при \(20\ \text{м/с} \sigma = 273\ \text{МПа} \) — стойка сминается. Смятие поглощает энергию: \(B = m\cdot \frac{v^{2}}{2} (\text{Дж}) \), поэтому алюминиевая стойка «прощает» жёсткую посадку.
  • CFRP (плоскостное σ_пр ~300 МПа): предела текучести нет. При \(v = 5\ \text{м/с} \sigma = 51\ \text{МПа} \) — полёт; при \(15\ \text{м/с} \sigma = 154\ \text{МПа} \) — ещё упруго; при \(20\ \text{м/с} \sigma = 205\ \text{МПа} \) — и любой концентратор (Kt = 2) даёт 410 МПа больше прочности: хрупкий разлом. Карбоновая стойка «работает до отсечки» и ломается.
  • Сталь: σуд растёт быстрее всех (ρ·E велик), но и текучести много — стальные стойки живут до больших скоростей, зато тяжёлые.
Правило выбора стойки: для посадок 3–6 м/с и лёгких крашей 8–12 м/с — алюминий (деформируется, поглощает). Для жёстких крашей 15–25 м/с с повторной эксплуатацией — сталь или «жертвенная» алюминиевая стойка. CFRP-стойка — для мягких посадок и как «одноразовый» элемент (после 15+ м/с — на выброс).
↑ К оглавлению

7. Практика: типовые задачи

Задача 1. Подсчёт циклов за срок службы

Задача. Моторный узел вибрирует на \(f = 2000\ \text{Гц} \). БПЛА летает 2 часа в месяц, срок службы 2 года. Подсчитать число циклов и проверить усталость алюминиевого узла 6061 (измеренная \(\sigma_{a} = 80\ \text{МПа} \)).

Заданные параметры:

ПараметрЗначение
Частота вибрацииf = 2000 Гц
Время полёта2 ч/мес = 7200 с/мес
Срок службы2 года = 24 мес
Амплитуда напряженияσ_a = 80 МПа
Материал6061-T6, σ_пр = 310 МПа

Искомые параметры: N за срок службы; допустимое σ_a; запас.

Решение.

  1. N = f · t = 2000 · 7200 · 24 = 3,46·10⁸ циклов.
  2. Алюминий предела не имеет: на 10⁸ циклов σ_a допустимо ~\(0{,}3\cdot \sigma_{пр} = 93\ \text{МПа} \); на 3,5·10⁸ — ~\(0{,}25\cdot \sigma_{пр} = 77\ \text{МПа} \) (кривая падает).
  3. Сравнение: 80 МПа больше 77 МПа — запаса нет.
Ответ: \(N \approx 3{,}5\cdot 10^{8} \) циклов; допустимое \(\sigma_{a} \approx 77\ \text{МПа} \); измеренные 80 МПа — выше: усталостный запас отсутствует.

Вывод. Десятки миллионов циклов — норма для моторного узла. Лечится снижение вибрации (демфер, балансировка винта, жёсткость узла): при a вдвое меньше σ_a вдвое меньше, а ресурс — на порядки больше (S-N кривая крутая).

Задача 2. Отверстие в CFRP-плите

Задача. CFRP-плита 20 × 2 мм с отверстием 3 мм несёт осевое растяжение \(P = 600\ \text{Н} \) (циклически). Оценить усталостную прочность (Kt = 2, плоскостная прочность CFRP 300 МПа).

Заданные параметры:

ПараметрЗначение
Плита20 × 2 мм (CFRP)
Отверстиеd = 3 мм (Kt = 2)
Сила (циклическая)P = 600 Н
Плоскостная прочностьσ_пр = 300 МПа

Искомые параметры: σ_nom (МПа); σ_max (МПа); усталостный предел и запас.

Решение.

  1. Чистое сечение: \(A_{net} = (20 - 3) \cdot 2 = 34\ \text{мм}^{2} \).
  2. σ_nom = P/Anet = 600/34 = 17,6 МПа.
  3. σ_max = Kt · σ_nom = 2 · 17,6 = 35,3 МПа.
  4. Усталостный предел CFRP: 0,4–0,5 · 300 = 120–150 МПа; берём 150 (оптимистично).
  5. n = 150/35,3 = 4,2.
Ответ: \(\sigma_{nom} = 17{,}6\ \text{МПа} \); \(\sigma_{max} = 35{,}3\ \text{МПа} \); \(n \approx 4{,}2 \) — усталостный запас достаточный.

Вывод. Без Kt запас был бы 17 — с концентратором он упал вдвое. Если бы Kt был 3 (изотропный материал), \(n = 2{,}8 \) — уже на границе. Втулка в отверстии (Kt ~1,3) вернула бы \(n = 6{,}5 \).

Задача 3. Усталость от вибрации рукава

Задача. Рукав из 7075-T6: статическое напряжение от массы мотора \(\sigma_{ст} = 10\ \text{МПа} \). Вибрация на узле a = 2 g, резонансный множитель Q = 3. Концентратор у болта крепления: Kt = 2. Проверить усталость (предел 7075 на 10⁸ циклов ~140 МПа, n = 1,5–2).

Заданные параметры:

ПараметрЗначение
Статическое напряжениеσ_ст = 10 МПа
Ускорение вибрацииa = 2 g
Резонансный множительQ = 3
Концентратор (болт)Kt = 2
Предел усталости 7075 (10⁸)σ_r ≈ 140 МПа

Искомые параметры: σ_в (МПа); σ_a (МПа); σ_max (МПа); запас.

Решение.

  1. σ_в = σ_ст · (a/g) · Q = 10 · 2 · 3 = 60 МПа.
  2. σ_a = Kt · σ_в = 2 · 60 = 120 МПа (амплитуда у концентратора).
  3. σ_max = σ_ст + Kt·σ_в = 10 + 120 = 130 МПа.
  4. Запас по усталости: \(n = \frac{140}{120} = 1{,}17 \) — меньше требуемых 1,5–2.
Ответ: \(\sigma_{в} = 60\ \text{МПа} \); \(\sigma_{a} = 120\ \text{МПа} \); \(\sigma_{max} = 130\ \text{МПа} \); \(n = 1{,}17 \) — усталостный запас недостаточный.

Вывод. Упала не статика (10 МПа — ничто), а усталость: Q = 3 и Kt = 2 умножили «незаметные» 2 g в 6 раз. Лечение: демпфер (Q 3 → 1,5), втулка/зенковка у болта (Kt 2 → 1,3) — вместе дают \(n = 3{,}5 \).

Задача 4. Посадка 4 м/с на алюминий

Задача. Стойка шасси из 6061-T6, удар «хвостом» со скоростью \(v = 4\ \text{м/с} \). Оценить напряжение волны и режим работы стойки \((\sigma_{т} = 276\ \text{МПа}) \).

Заданные параметры:

ПараметрЗначение
Скорость удараv = 4 м/с
Плотность 6061ρ = 2700 кг/м³
Модуль 6061E = 69 ГПа = 6,9·10¹⁰ Па
Предел текучестиσ_т = 276 МПа

Искомые параметры: σуд (МПа); режим (упруго/пластично); запас.

Решение.

  1. √\((\rho\cdot E) = \sqrt{2700 \cdot 6{,}9\cdot 10^{10}} = \sqrt{1{,}86\cdot 10^{14}} = 1{,}37\cdot 10^{7}\ \text{Па·с/м} \).
  2. σ_уд = v·√(ρE) = 4 · 1,37·10⁷ = 5,5·10⁷ Па = 54,6 МПа.
  3. Сравнение: 54,6 меньше 276 — упругий режим.
  4. n = 276/54,6 = 5,1.
Ответ: \(\sigma_{уд} = 54{,}6\ \text{МПа} \); режим упругий; \(n = 5{,}1 \) — стойка не деформируется, энергия гасится упруго и возвращается (отскок).

Вывод. При посадках до 5 м/с алюминиевая стойка работает в упругой зоне — это нормально. Пластическое смятие начинается при ~18–20 м/с и работает как аварийный амортизатор.

Задача 5. Краш 20 м/с: CFRP против Al

Задача. Сравнить стойки из CFRP (\(\rho = 1500\ \text{кг/м}^{3} \), \(E = 70\ \text{ГПа} \), плоскостная прочность 300 МПа) и 6061 (\(\rho = 2700 \), \(E = 69\ \text{ГПа} \), \(\sigma_{т} = 276\ \text{МПа} \)) при осевом ударе \(v = 20\ \text{м/с} \). У CFRP-стойки есть ступенька (Kt = 2).

Заданные параметры:

ПараметрCFRP6061
ρ, кг/м³15002700
E, ГПа7069
Прочность, МПа300 (плоскостная)276 (σ_т)
КонцентраторKt = 2 (ступенька)нет
v, м/с20

Искомые параметры: σуд для каждой; с учётом Kt; исход (упруго/деформация/разлом).

Решение.

  1. CFRP: \(\sqrt{1500 \cdot 7{,}0\cdot 10^{10}} = \sqrt{1{,}05\cdot 10^{14}} = 1{,}02\cdot 10^{7} \); \(\sigma_{уд} = 20 \cdot 1{,}02\cdot 10^{7} = 205\ \text{МПа} \).
  2. CFRP со ступенькой: \(\sigma_{max} = 2 \cdot 205 = 410\ \text{МПа} \) — больше 300 (плоскостная прочность).
  3. 6061: \(\sqrt{2700 \cdot 6{,}9\cdot 10^{10}} = 1{,}37\cdot 10^{7} \); \(\sigma_{уд} = 20 \cdot 1{,}37\cdot 10^{7} = 273\ \text{МПа} \).
  4. 6061: \(273\ \text{МПа} \approx \sigma_{т} = 276 \) — граница текучести: стойка начнёт сминаться.
Ответ: CFRP: 205 МПа, со ступенькой 410 МПа — хрупкий разлом. 6061: 273 МПа — пластическое смятие (поглощение энергии), разлома нет.

Вывод. При 20 м/с карбоновая стойка ломается по ступеньке, алюминиевая — гнётся и «доживает» полёт. Для БПЛА с агрессивными посадками стойки делают алюминиевыми (или стальными), а карбон оставляют для силовых элементов рамы, которые удар не бьёт.

↑ К оглавлению

8. Чек-лист самопроверки знаний

Отметьте пункты, которые вы действительно понимаете и можете применить без подсказок.

✓НавыкПроверка
Усталость материала10⁸ циклов вибрации мотора — норма за 2 года.
Сталь имеет предел ~0,5·σ_пралюминий предела нет (~0,25–0,35·σ_пр на 10⁸, дальше падает); CFRP 40–60% плоскостной.
Kt отверстия ~3 (изотроп) / 1,5–2,5 (CFRP)правила: 3·d между отверстиями, 2·d до края, втулки, скругления.
Усталость от вибрацииσ_в = σ_ст·(a/g)·Q; σ_a = Kt·σ_в; n = 1,5–2.
Осевой ударσ_уд = v·√(ρE) — не зависит от геометрии стойки; Al сминается, CFRP ломается.
Демпфер моторарежет Q и a, а не «тишину».
↑ К оглавлению

9. Источники

  1. Wikipedia, «Fatigue (material)» — усталостное разрушение, фазы. en.wikipedia.org/wiki/Fatigue_(material) / ru.wikipedia.org/wiki/Усталость_материала (Усталость материала)
  2. Wikipedia, «Wöhler Curve» — S-N кривая. en.wikipedia.org/wiki/W%C3%B6hler_curve / ru.wikipedia.org/wiki/Усталость_материала (Усталость материала)
  3. Wikipedia, «Endurance Limit» — предел выносливости. en.wikipedia.org/wiki/Endurance_limit / ru.wikipedia.org/wiki/Предел_выносливости (Предел выносливости)
  4. Wikipedia, «Stress Concentration» — коэффициент концентрации. en.wikipedia.org/wiki/Stress_concentration / ru.wikipedia.org/wiki/Концентрация_напряжений (Концентрация напряжений)
  5. Wikipedia, «Impact (mechanics)» — удар, волны напряжения. en.wikipedia.org/wiki/Impact_(mechanics) (mechanics)

Проверено: 05.09.2026.

↑ К оглавлению
  • мод. : Воскресенье, 13 сентября 2026